Giáo sư Lý Thiên Yến (1945-2020) là người cực kỳ nổi tiếng ở Trung Quốc. Ông không chỉ có kiệt tác hàn lâm "Giai đoạn ba phương sai hỗn loạn" được nhà vật lý nổi tiếng Dyson gọi là báu vật bất tử, ông còn chứng minh được một phỏng đoán toán học của Ulam, "cha đẻ của bom khinh khí", và một bằng chứng mang tính xây dựng cho định lý điểm bất động nổi tiếng của nhà toán học người Hà Lan Brouwer, khẳng định vị thế hàn lâm của ông trong hai lĩnh vực hệ động lực hỗn loạn và thuật toán tiếp tục đồng luân. Một người khổng lồ trong giới học thuật như vậy cũng là một “Thi Thiết Sinh của toán học” đã trải qua khoảng 20 cuộc phẫu thuật lớn và vô số cuộc phẫu thuật nhỏ.
Là học trò của Lý Thiên Yến, Giáo sư Đinh Cửu thuộc Khoa Toán học của Đại học Nam Mississippi có tình cảm sâu sắc với người thầy của mình. Khi Giáo sư Lý vừa qua đời, ông đã viết trong nước mắt "35 năm quan hệ thầy trò khó quên: Tưởng nhớ nhà toán học huyền thoại người Trung Quốc, Giáo sư Lý Thiên Yến". Sau đó, ông thu thập thêm thông tin và hoàn thành tác phẩm đau lòng - "Thoát khỏi sự hỗn loạn: Mối quan hệ toán học của tôi với Lý Thiên Yến". Để biết phần giới thiệu chi tiết, vui lòng tham khảo bài đánh giá sách ở cuối bài viết. Ở đây tôi muốn trích đoạn chương thứ năm của cuốn sách "Phương pháp đọc sách kỳ diệu" để chia sẻ với các học giả.
Bài viết này được phép trích từ Chương 5 "Phương pháp đọc kỳ diệu" của tác phẩm "Thoát khỏi sự hỗn loạn: Tình yêu toán học của tôi với Li Tianyan" (Nhà xuất bản Giáo dục Khoa học và Công nghệ Thượng Hải) và tiêu đề do biên tập viên thêm vào. Vào tài khoản công khai "Fanpu" và nhấp vào "Đọc văn bản gốc" ở cuối bài viết để mua cuốn sách này.
Được viết bởi Ding Jiu (Giáo sư Toán học tại Đại học Nam Mississippi)
Như thường lệ trong toán học, trước khi thảo luận chi tiết về "bí quyết học tập", trước tiên chúng ta phải giả định rằng giáo viên dạy môn học này và sách giáo khoa được chọn là đủ tốt; nếu là tự học, chúng ta cũng cho rằng động lực học tập không phải là vấn đề. Hơn nữa, vai trò của trí thông minh không phải là yếu tố chúng ta quan tâm. Với những bối cảnh tương đối lý tưởng như thế này, làm sao chúng ta có thể đọc sách toán một cách hiệu quả?
Sau thời gian dài nghiên cứu sách vở và thực hành tại Đài Loan và Hoa Kỳ, Giáo sư Lý Thiên Yến đã tổng hợp những phương pháp đọc sách có giá trị. Trong nhiều thập kỷ đọc sách, tôi cũng đã tích lũy được một số hiểu biết về "đọc sách hay". Mặc dù tôi đã xa thầy ba mươi năm, nhưng mối quan hệ giữa thầy và trò không những không phai nhạt mà còn ngày càng phát triển rực rỡ hơn. Một trong những yếu tố chính là chúng tôi có quan điểm gần như giống hệt nhau về nhiều vấn đề liên quan đến cuộc sống, học tập, giảng dạy, nghiên cứu và diễn thuyết, và chúng tôi cũng tuân theo một quy tắc ứng xử mà cả hai đều hết sức đồng tình. Chương này tập trung vào "Cách học Toán", chắc chắn là bản tóm tắt về quá trình đọc và nghiên cứu suốt đời của Giáo sư Lý Thiên Yến. Trên thực tế, nó cũng xen kẽ với sự hiểu biết của tôi về việc đọc và học. Giáo viên và học sinh của chúng tôi đều hiểu sâu sắc rằng cách quan trọng nhất để học tốt toán là nắm vững các khái niệm. Trên thực tế, đây cũng là trải nghiệm chung của một số bạn cùng lớp đại học của tôi, những người hiểu biết sâu sắc về toán học. Vì tôi đã có cuộc trao đổi toàn diện với người cố vấn của mình là Giáo sư York về các vấn đề giáo dục tại buổi gặp mặt giữa giáo viên và sinh viên nhân kỷ niệm sinh nhật lần thứ 70 của Giáo sư Li vào tháng 7 năm 2015, tôi cũng sẽ chia sẻ một số hiểu biết sâu sắc của York về việc đọc.
Toán học lấy các tiên đề và tiên đề làm tiền đề, định nghĩa làm hướng dẫn và logic làm phương tiện để dần dần suy ra các mệnh đề hữu ích, giúp khám phá các tính chất khác nhau của khái niệm và mối quan hệ giữa chúng với các khái niệm khác. Nghệ thuật lý luận đóng vai trò quan trọng trong quá trình này. Mọi khả năng hiểu các chứng minh định lý của chúng ta đều đến từ hình học Euclid mà chúng ta đã học ở trường trung học. Do đó, Wei Musheng, bạn cùng lớp đại học của tôi, người đã đạt điểm tuyệt đối môn toán trong Kỳ thi tuyển sinh đại học tỉnh Giang Tô năm 1977, đã tin rằng trong một cuộc trò chuyện với tôi tại Đại học bang Michigan, hình học phẳng là môn toán quan trọng nhất ở trường trung học cơ sở.
Trong toán học, định nghĩa của một khái niệm mới nhất thiết phải sử dụng các khái niệm khác, và các mệnh đề thuộc về nó không gì khác hơn là về bản chất, cách sử dụng hoặc mối quan hệ của khái niệm đó với các khái niệm khác. Trong phát biểu của một đề xuất, tất cả các khái niệm liên quan phải được định nghĩa rõ ràng và không mơ hồ, nếu không thì ngay cả một thiên tài cũng không thể hiểu được đề xuất đó. Do đó, các khái niệm toán học xuất hiện trong các bằng chứng của họ ở khắp mọi nơi. Do đó, khi bạn gặp một khái niệm, bạn nên có hình ảnh đầy đủ về khái niệm đó trong đầu. Ví dụ, có một mệnh đề đơn giản trong lý thuyết về chuỗi trong phép tính: nếu một chuỗi vô hạn hội tụ, thì chuỗi tổng quát của chuỗi phải tiến tới 0. Trong mệnh đề này, có hai khái niệm danh từ cơ bản, đó là "chuỗi" và "chuỗi số", và một khái niệm cực kỳ quan trọng là "hội tụ", được sử dụng tương ứng cho chuỗi và chuỗi số. Do đó, khi chứng minh mệnh đề này, chúng ta phải làm rõ định nghĩa của các khái niệm này và mối quan hệ giữa chúng. Nếu ngay cả định nghĩa về sự hội tụ của một chuỗi vẫn còn mơ hồ, hoặc nếu chúng ta vẫn chưa tìm ra mối quan hệ và sự khác biệt giữa chuỗi tổng quát của một chuỗi và các phần và chuỗi của chuỗi, thì làm sao chúng ta có thể suy ra các điều kiện cần thiết cho sự hội tụ của một chuỗi sao cho chuỗi tổng quát của nó tiến tới 0 từ sự hội tụ của một chuỗi?
Mặc dù các khái niệm rất quan trọng, nhưng rất nhiều học sinh không coi trọng chúng hoặc đơn giản là không biết về công cụ đọc hiệu quả là "nắm vững các khái niệm". Một trong những nguyên nhân có thể là do ở bậc tiểu học và trung học trước khi vào đại học, các em đã bị cuốn theo nhịp điệu của kỳ thi tuyển sinh đại học và chiến thuật của biển câu hỏi, chỉ tìm cách học thuộc lòng. Có lẽ một lý do khác khiến họ thụ động chấp nhận cách đọc tệ nhất này là vì họ thấy việc ghi nhớ các định nghĩa dễ dàng và thư giãn hơn là hiểu chúng. Việc đọc lại định nghĩa chỉ là một hành vi máy móc, giống như các giáo viên trường tư ngày xưa dạy học sinh đọc sách cổ bằng cách lắc đầu. Để hiểu được các khái niệm, não phải hoạt động. Các định nghĩa khái niệm trong sách giáo khoa toán được biên soạn tốt được diễn đạt rất rõ ràng, cách diễn đạt và cấu trúc câu rất tiết kiệm, nghĩa là trong câu không có từ thừa, mỗi từ đều có ý nghĩa. Để hiểu đầy đủ ý nghĩa của một định nghĩa phức tạp bao gồm nhiều liên từ logic không phải là việc ghi nhớ nó một cách thuộc lòng. Bạn cần phải suy ngẫm liên tục trong khi đọc định nghĩa và vắt óc suy nghĩ để hiểu nó một cách thấu đáo. Một cách tốt để kiểm tra xem bạn có thực sự hiểu một định nghĩa nào đó hay không là tự hỏi bản thân rằng bạn sẽ nói gì nếu định nghĩa đó không đúng. Nếu bạn không thể viết ra thì có lẽ bạn vẫn còn lâu mới hiểu được định nghĩa thực sự.
Khi Giáo sư Lý Thiên Yến giảng dạy và giải thích một khái niệm trừu tượng trên lớp, ông thích minh họa bằng ví dụ. Lần đầu tiên tôi nghe bài giảng của ông ở Quảng Châu, tôi đã bị cuốn hút bởi phương pháp “đơn giản hóa sự phức tạp” của ông. Tôi cũng đã ghi lại thái độ của ông khi ông thay thế Giáo sư Yan trong học kỳ đầu tiên tại Hoa Kỳ. Đó là lần đầu tiên tôi được nghe lớp học của ông ở Hoa Kỳ. Bây giờ chúng ta hãy lấy một ví dụ và thử phủ định một mệnh đề toán học. Chúng ta hãy bắt đầu với phép tính vi phân, môn mà mọi sinh viên khoa học và kỹ thuật đều đã học. Người đọc được cho là đã nắm được định nghĩa chặt chẽ của giới hạn ngôn ngữ "ε-δ". Trước tiên chúng ta hãy nhắc lại định nghĩa: Cho f là một hàm số thực của biến thực x và cho một số thực a nằm trong miền xác định của hàm số. Nếu tồn tại số thực L sao cho với mọi số dương ε, tồn tại số dương δ sao cho khi x nằm trong khoảng thì bất đẳng thức 0 được thỏa mãn
Chỉ cố gắng ghi nhớ mà không chịu suy nghĩ là một sai lầm lớn mà nhiều người mắc phải khi học toán hiện nay, và điều này cũng đã bị Giáo sư Lý Thiên Yến chỉ trích. Trong những năm học tại Đại học bang Michigan, tôi đã nhiều lần nghe ông kể về một câu chuyện có thật xảy ra tại Khoa Toán học của Đại học Maryland, nơi ông từng theo học để lấy bằng tiến sĩ. Sinh viên nước ngoài phải tham gia kỳ thi vấn đáp để đủ điều kiện xét tuyển tiến sĩ. Người giám khảo yêu cầu thí sinh chứng minh định lý Tikhonov nổi tiếng trong tôpô tập điểm, nhưng chỉ yêu cầu thí sinh chứng minh phiên bản đơn giản hơn trong không gian hai chiều: tích của hai tập compact cũng là một tập compact theo tôpô tích. Nhưng nghiên cứu sinh tiến sĩ đã cầu xin giáo sư cho cô chứng minh định lý Tikhonov tổng quát: tích của bất kỳ tập compact nào cũng là một tập compact theo tôpô tích. Lý do là cô ấy đã thuộc lòng cách chứng minh kết luận tổng quát này từ đầu đến cuối, nhưng cô ấy không thể chứng minh trường hợp đặc biệt của định lý.
Trên thực tế, hiện tượng này khá phổ biến. Một số học sinh đã thuộc lòng định nghĩa giới hạn nêu trên, nhưng các em vẫn chưa hiểu ý nghĩa đằng sau định nghĩa này. Một khi họ sử dụng nó trong những tình huống cụ thể hoặc giải quyết những bài toán giới hạn hơi khó, họ sẽ trở nên bối rối và không biết phải bắt đầu từ đâu. Thậm chí còn khó hơn để chứng minh rằng giới hạn không tồn tại, hoặc ngay cả khi giới hạn tồn tại thì giá trị của nó cũng không phải là một con số cho trước. Khi đọc một cuốn sách toán khó hiểu, bạn thường thấy khó hiểu các định nghĩa phức tạp hoặc các định lý khó. Nếu điều này xảy ra, đừng quá bi quan hay thất vọng. Điều này đòi hỏi phải có đủ sự kiên nhẫn và tự tin. Nhìn lại những khái niệm trong quá khứ thường là lựa chọn đúng đắn. Ở đây chúng ta cũng có thể mượn một số lời khuyên hướng dẫn đọc mà nhà vật lý học người Mỹ xuất chúng Richard Feynman (1918-1988) đã dành cho em gái mình, người kém ông chín tuổi khi ông 23 tuổi: "Đọc từ đầu, và đọc càng nhiều càng tốt cho đến khi bạn không cảm thấy gì cả, rồi bắt đầu lại từ đầu. Tiếp tục đọc cho đến khi bạn hiểu hết tất cả." Phương pháp này hiệu quả và phù hợp nhất với những người tự học, muốn học mà không cần giáo viên. Chị gái của Feynman đã sử dụng phương pháp này để đọc và hiểu một cuốn sách về thiên văn học, và niềm vui thành công đã thúc đẩy bà chọn chủ đề này làm sự nghiệp suốt đời của mình. Tôi đã tự học trong một thời gian dài và tôi thường sử dụng phương pháp này để hoàn thành mọi chương và phần của một cuốn sách toán. Giáo sư Li đã nghiên cứu cách giải phương trình đa thức trong một thời gian dài. Ông tự học đại số không giao hoán, một môn học có liên quan mật thiết đến hình học đại số. Tôi tin rằng cách tiếp cận của ông phù hợp với Feynman. Những bạn cùng lớp đại học của tôi có nền tảng toán học phân tích vững chắc hẳn đã nghĩ giống như Feynman: khi họ gặp phải điều gì đó không hiểu trong khi đọc, họ sẽ bắt đầu lại từ đầu, tiến bộ từng bước một và cuối cùng nắm vững toàn bộ chương hoặc phần.
Hiểu được các bằng chứng và có khả năng học cách chứng minh là bước quan trọng khi đọc sách toán. Điều mà Giáo sư Lý Thiên Yến ghét nhất khi học toán là phải ghi nhớ các chứng minh mà không hiểu chúng. Vì vậy, khi học sinh muốn báo cáo với ông cách chứng minh một định lý, ông sẽ không bao giờ yêu cầu bạn chứng minh kết luận chung mà sẽ yêu cầu bạn chứng minh một trường hợp đơn giản cụ thể để xem bạn có thực sự hiểu nó không. Ông không chỉ yêu cầu điều này ở học trò mà còn chứng minh điều đó bằng chính hành động của mình. Khi ông sắp nghỉ hưu vào những năm cuối đời, ông được mời đến giải thích bằng chứng của mình rằng "sự tồn tại của chu kỳ ba điểm của một hàm liên tục ngụ ý sự tồn tại của chu kỳ n điểm" với một số sinh viên đến thăm từ quê nhà. Một trong những sinh viên này, Xu Shistein, hiện đã chính thức trở thành nghiên cứu sinh tiến sĩ của khoa. Trong bức ảnh ông gửi cho tôi về Giáo sư Lý đang trình bày một chứng minh, những gì tôi thấy được viết trên bảng là chứng minh cho trường hợp đặc biệt khi n = 4, và ý tưởng chứng minh kết luận là đúng đối với số nguyên dương tổng quát n được thể hiện đầy đủ trong chứng minh cụ thể này. Do đó, để trở thành học trò của Giáo sư Lý, bạn phải chứng minh được các kết luận đặc biệt khi n = 3 hoặc 4.
Giáo sư Li dạy sinh viên về lý thuyết hỗn loạn năm 2017
Vấn đề là trong sách giáo khoa hoặc chuyên khảo, tác giả không viết ra phần chứng minh định lý cụ thể khi n = 3 hoặc 4, còn phần mô tả định lý và phần chứng minh về cơ bản chỉ mang tính chung chung. Làm sao người ta có thể hiểu được bằng chứng phức tạp và dài dòng này? Chúng ta hãy cùng đọc lời khuyên của Giáo sư York:
"Sinh viên (và thậm chí cả giáo sư) nên cố gắng hiểu những ý tưởng chính trong bằng chứng, và tốt nhất là tìm ra hai ý tưởng chính. Những ý tưởng chính này không nhất thiết phải xuất hiện dưới dạng 'bổ đề', vì cuốn sách có thể chỉ ra quá nhiều manh mối chính có vẻ hợp lý. Trên thực tế, ý tưởng chính thường là ý tưởng khiến sinh viên ngạc nhiên, vì vậy những người khác nhau sẽ chọn ra những ý tưởng chính khác nhau trong một bằng chứng. Chúng là những yếu tố chính để cải thiện sự hiểu biết của chúng ta. Một ý tưởng chính có thể có một bằng chứng phức tạp, vì vậy sinh viên nên khám phá ra hai ý tưởng chính trong quá trình này."
Trong một email dài gửi cho tôi vào tháng 7 năm 2015, Giáo sư York đã đưa ra hai ví dụ để minh họa cách tìm ra những ý tưởng chính trong một bằng chứng. Có lẽ vì "định lý giá trị trung gian" về các hàm liên tục trong phép tính đóng vai trò quan trọng trong các bài viết nổi tiếng nhất của ông và các học trò, nên ông đã sử dụng bằng chứng của định lý này làm ví dụ đầu tiên. Ý nghĩa hình học của định lý này có thể hiểu được với hầu hết mọi người: bất kỳ đường cong liên tục nào nối một điểm đã biết ở mỗi bên của một đường thẳng đều phải đi qua đường thẳng đó ít nhất một lần. Phát biểu toán học chặt chẽ của nó là: nếu f là hàm liên tục có giá trị thực xác định trên khoảng đóng [a, b], thì với mọi số d nằm giữa các giá trị hàm f(a) và f(b), tồn tại một điểm c trong [a, b] sao cho f(c)=d. Ý tưởng then chốt đầu tiên trong việc chứng minh định lý là nếu ta chia khoảng [a, b] thành hai khoảng con đóng qua trung điểm của khoảng đó, mỗi khoảng có độ dài bằng một nửa độ dài khoảng ban đầu, thì số d phải nằm giữa hai giá trị hàm số của f tại hai điểm cuối của một trong hai khoảng con đóng đó và khoảng con xác định bởi tính chất này sẽ thay thế khoảng ban đầu. Ý tưởng chính thứ hai là miễn là d không trở thành giá trị hàm của f tại một trong hai điểm cuối của khoảng con hiện tại, hãy lặp lại ý tưởng chia đôi khoảng trên và duy trì tính chất rằng số d luôn nằm giữa các giá trị hàm tại hai điểm cuối của khoảng. Nếu không thể đạt được giá trị hàm d cần thiết ở mỗi bước của quy trình trên, có thể thu được một chuỗi vô hạn các khoảng đóng, với độ dài giảm đi một nửa mỗi lần và phần phía trước bao quanh phần phía sau. Độ dài của các khoảng này cuối cùng sẽ tiến tới 0, do đó "định lý khoảng đóng lồng nhau" về số thực đảm bảo rằng chúng chỉ có một điểm chung c. Theo giả thiết f là hàm liên tục thì điểm c phải thỏa mãn phương trình f(c)=d. Hai ý tưởng trên là những ý tưởng chính cần thiết để chứng minh định lý giá trị trung gian.
Có lẽ vì "bài kiểm tra miệng đánh giá" mang tính minh họa trong lịch sử của Khoa Toán học tại Đại học Maryland, nơi ông từng là trưởng khoa, ví dụ thứ hai mà Giáo sư York trích dẫn là bằng chứng chuẩn của định lý Tikhonov được đề cập ở trên. Tất nhiên, bằng chứng này khó hơn nhiều và nó cũng đòi hỏi tiên đề lựa chọn tập hợp của Ernst Zermelo (1871-1953), mà không phải nhà toán học nào cũng công nhận, vì vậy tôi sẽ không giải thích chi tiết ở đây mà chỉ nêu ra rằng có hai ý tưởng chính dẫn đến bằng chứng này. Những độc giả có nền tảng về tôpô học và muốn tìm hiểu sâu hơn về bằng chứng có thể đọc thông tin chi tiết trong phần phụ lục "Giáo sư York nói về giáo dục" trong cuốn sách "Kinh nghiệm cá nhân về giáo dục Hoa Kỳ: Ba mươi năm kinh nghiệm và suy nghĩ" của tôi, được Nhà xuất bản Thương mại xuất bản năm 2016.
York đủ trình độ để giảng dạy những bí quyết thực sự để học toán tốt vì ông là bậc thầy về hỗn loạn nổi tiếng thế giới, nhờ đó ông đã chia sẻ Giải thưởng Nhật Bản năm 2003 với "Cha đẻ của Fractal" Benoit B. Mandelbrot (1924-2010). Trong mắt các học trò của ông, nhóm nghiên cứu hệ thống động lực hỗn loạn của ông tại Đại học Maryland có danh tiếng học thuật tốt nhất tại Hoa Kỳ. Tuy nhiên, đối với một nhà toán học nghiên cứu sáng tạo như vậy, điểm số cao nhất của ông trong tất cả các khóa học toán ở trường trung học chỉ là 87 điểm, mà không có điểm "xuất sắc" nào. Đây không phải là "tin giả" nghe được, tôi có thể thấy rõ điều đó từ tất cả bảng điểm trung học mà anh ấy đã gửi qua email cho tôi. Nhưng tôi nghe nói rằng nhiều học sinh tiểu học và trung học ở Trung Quốc có điểm toán trung bình khoảng 95 điểm vẫn phải học thêm "lớp học kèm" với gia sư riêng sau giờ học để tiếp tục học vì họ vẫn chưa đạt đến mức "điểm hoàn hảo". Nhưng York nói với tôi rằng, “Tôi đã học cách tính toán ở trường trung học.” Vì vậy, anh đã giành giải ba toàn tiểu bang trong cuộc thi toán cấp trung học tại quê nhà New Jersey. Sau khi York được nhận vào Đại học Columbia để học đại học, bảng điểm của anh vẫn "không ấn tượng". Ông khiến sinh viên của mình hồi hộp khi nói rằng, "Tôi không đạt điểm B nào ở trường đại học." Lúc đầu Lý Thiên Yến nghĩ là “Tất cả đều là A”, nhưng câu trả lời anh nhận được lại là “C hoặc thấp hơn”. Tuy nhiên, Giáo sư Lý Thiên Yến, người có bảng điểm toán đại học rất tốt, đã viết trong bài viết "Nhìn lại con đường phía trước":
"Mặc dù thành tích của tôi lúc đó cực kỳ nổi bật, nhưng giờ nghĩ lại, thực ra lúc đó tôi chẳng biết gì cả và chẳng biết mình đang làm gì. Khi còn đi học, tôi chỉ có thể ghi nhớ các định lý và logic để đối phó với các kỳ thi. Sau khi tốt nghiệp và nhập ngũ, tôi đã quên hầu hết những gì mình đã học. Thành thật mà nói, trước khi đi du học, tôi thực sự muốn từ bỏ toán học. Sau đó, tôi gặp người cố vấn của mình, Giáo sư York, tại Hoa Kỳ. Từ ông, tôi dần dần có được một số hiểu biết sơ bộ về việc học và nghiên cứu toán học, và những hiểu biết này đã đóng góp rất nhiều vào tầm nhìn và cách tiếp cận của tôi đối với việc học toán trong tương lai."
Thật là một câu nói chân thành! Ít nhất là khi nói đến việc học toán, điểm số không quan trọng, vì học toán không phải là để rèn luyện trí nhớ, mà là để rèn luyện khả năng hiểu biết thế giới. Sự khác biệt giữa văn hóa phương Đông và phương Tây cũng ảnh hưởng đến thói quen đọc và học tập. Ở phương Đông, đặc biệt là ở Trung Quốc ngày nay, học sinh học toán bằng cách thụ động tuân theo quá trình suy luận logic trong sách giáo khoa, chỉ tìm cách ghi nhớ chứ không suy nghĩ. Họ chỉ biết tại sao bước này lại dẫn đến bước tiếp theo, và bước tiếp theo lại dẫn đến bước tiếp theo nữa và cuối cùng là đi đến kết luận của định lý. Có vẻ như tôi hiểu được quy trình chứng minh, nhưng tôi không thực sự hiểu nó và chỉ có thể làm bài kiểm tra. Những sinh viên phương Tây giỏi thường hỏi "tại sao" khi học: Tại sao lại như thế này? Tại sao phải làm thế này? Những câu hỏi này không có khả năng xuất hiện trong các kỳ thi, nhưng chúng thường xuất hiện khi nghiên cứu. Vì vậy, Yorke đã nói đùa với các sinh viên trẻ rằng: "Nếu các em chỉ muốn vượt qua kỳ thi, hãy ghi nhớ bằng chứng của định lý. Nhưng nếu các em muốn nghiên cứu, các em phải thực sự hiểu hai ý tưởng chính trong bằng chứng".
Làm bài tập là một phần không thể thiếu trong quá trình học toán, nhưng làm bài tập một cách khoa học không chỉ tiết kiệm thời gian mà còn đạt được kết quả gấp đôi chỉ với một nửa công sức. Khi tôi còn học đại học, sinh viên toán trên khắp cả nước có xu hướng làm "Bài tập phân tích toán học" của nhà toán học người Belarus Boris Pavlovich Demidovich (1906-1977). Cuốn sách này đã có những đóng góp vô giá cho sự phát triển khả năng lý luận của con người. Thậm chí có thể nói rằng nó không kém phần quan trọng so với tác phẩm nổi tiếng "Một khóa học về phép tính vi phân" của nhà toán học Liên Xô Gregory Mikhailovich Fichtenholz (1888-1959), một cuốn sách tham khảo ngoại khóa nhiều tập mà hầu như mọi sinh viên toán học đều có vào thời điểm đó. Người bạn cùng lớp của tôi là Tian Gang đã làm hơn 20.000 bài tập trong thời gian học đại học, điều này đã đặt nền tảng cho sự nghiệp toán học xuất sắc của anh sau này. Tuy nhiên, khi được các phóng viên phỏng vấn, ông không tán thành việc sinh viên hiện nay đặt quá nhiều câu hỏi và được đào tạo thành "cỗ máy giải quyết câu hỏi", giống như hình ảnh cường điệu "bị cuốn vào cỗ máy" mà bậc thầy hài kịch Charles Chaplin (1889-1977) để lại trong bộ phim kinh điển "Modern Times". Do áp lực của kỳ thi tuyển sinh đại học và mong muốn vào một trường danh tiếng, học sinh trung học Trung Quốc đã làm vô số câu hỏi một cách chủ động hoặc thụ động trong vài năm trước tuổi 18. Tuy nhiên, khi vào đại học, nhiều người thấy rằng sự nhiệt tình làm bài tập của họ giống như một quả bóng xì hơi. Cả hai thái cực đều không phải là cách tiếp cận thông minh. Trong những trường hợp bình thường, làm sao chúng ta có thể “giải quyết vấn đề một cách khoa học”? Mục đích của các bài tập là củng cố sự hiểu biết về các khái niệm và tăng cường khả năng áp dụng các khái niệm. Do đó, nếu bạn chưa hiểu được ý nghĩa của các khái niệm trước khi làm bài tập, đừng làm bài tập theo kiểu làm bài tập. Trong số các bài tập được liệt kê trong sách giáo khoa tốt, ngoài một số ít "câu hỏi thường gặp" được dùng để ôn lại các khái niệm hoặc áp dụng trực tiếp các mệnh đề, còn có một số câu hỏi phức tạp, mang tính trang trí và cực kỳ khó. Một số sách giáo khoa được biên soạn tốt thậm chí còn đưa một số kết quả nâng cao vào phần bài tập để thử thách người đọc xem ai dám thử thách. Hãy đủ can đảm để thử những câu hỏi dạng này và đừng làm quá nhiều "câu hỏi thông thường" mà hầu như không cần suy nghĩ. Đây là cách tốt để cải thiện kỹ năng toán học và khả năng đổi mới sáng tạo trong tương lai của bạn.
Một thứ không thể tách rời khỏi thời sinh viên chính là "điểm số". Tất nhiên, mọi người đều thích điểm cao cũng như thích sắc đẹp. Điểm thi tất nhiên là quan trọng, vì đó là cách duy nhất để nhà trường đánh giá mức độ tiếp thu bài học của học sinh và về cơ bản phản ánh mức độ nắm vững kiến thức. Một bảng điểm tốt, ghi lại quá trình học tập của bạn, có thể khiến bạn hạnh phúc suốt quãng đời còn lại. Tôi đã đạt được số điểm phá kỷ lục trong Kỳ thi tiếng Đức quốc gia năm đó. Khi nhận được bảng điểm từ thư ký của Trưởng khoa Sau đại học, tôi cảm thấy có chút phấn khởi khi bước ra khỏi văn phòng. Mặc dù bị gia sư chế giễu vì vội vàng báo tin tốt, tôi vẫn tin chắc rằng "điểm cao luôn tốt hơn điểm thấp". Điều này chắc chắn là đúng, nhưng thực tế là trong 33 năm qua, tôi chưa bao giờ có cơ hội đọc một bài báo toán học nào bằng tiếng Đức hoặc tiếng Nga. Có một lần tôi đặc biệt muốn đọc mô tả và bằng chứng về một định lý ergodic cổ điển được xuất bản năm 1950, nhưng bài viết được viết bằng tiếng Pháp mà tôi không hiểu.
Ở Trung Quốc đại lục, nếu điểm thi đại học của học sinh tốt nghiệp trung học thấp hơn một điểm, người đó có thể bỏ lỡ cơ hội vào trường đại học hạng nhất mà mình hằng mơ ước. Do đó, nhiều phụ huynh muốn con mình thành đạt đã ngưỡng mộ điểm số cao trong kỳ thi tuyển sinh đại học do Trường Trung học cơ sở Hành Thủy tổ chức, nơi đạt được thành công nhờ phương pháp cực đoan và quá trình đào tạo khắc nghiệt. Theo hệ thống thi tuyển sinh đại học hiện nay, điểm số này thực sự cực kỳ quan trọng. Tuy nhiên, như người đoạt giải Nobel Vật lý là ông Tsung-Dao Lee (1936-) đã nói, ông chưa tìm thấy bất kỳ người đoạt giải Nobel nào (tất nhiên bao gồm cả ông) là sinh viên đứng đầu lớp, nhưng ông đã nghe nói về một số người đứng cuối lớp. Câu này rất có ý nghĩa: mục đích của việc học không phải là để theo đuổi điểm số cao nhất mà là để theo đuổi chân lý, hiểu được chân lý và cuối cùng có thể sáng tạo ra những phát minh và khám phá ra chân lý sau khi bước vào nơi làm việc. Nếu một học sinh quá chú trọng vào điểm thi mà thiếu tầm nhìn xa, chỉ tập trung vào sách giáo khoa dùng làm căn cứ cho kỳ thi suốt ngày mà không chịu đọc thêm sách ngoại khóa để mở rộng tầm nhìn, thì ngay cả khi điểm thi của học sinh đó thuộc loại cao nhất lớp, về lâu dài, học sinh đó vẫn có thể hối hận. Một học sinh có hoài bão lớn lao nên nghĩ đến việc đọc nhiều và đặt nền tảng vững chắc cho tương lai tươi sáng của mình sau mười hoặc hai mươi năm nữa.
Mặc dù Giáo sư Lý Thiên Yến có thành tích học tập xuất sắc ở trường đại học, nhưng ông chưa bao giờ coi trọng thành tích này. Trong những năm đó, ông thường nhắc nhở các nghiên cứu sinh tiến sĩ của mình phải học "kỹ năng cốt lõi" và phải có "tài năng và kiến thức thực sự". Nhìn lại thời gian học tập tại Đại học Công nghệ Nanyang, tôi thấy mừng vì mình không học chỉ để đạt điểm cao. Thay vào đó, tôi hy vọng có thể hấp thụ càng nhiều kiến thức hữu ích càng tốt như một miếng bọt biển. Tôi đã có thói quen kiên trì đọc nhiều sách ngoại khóa, bao gồm cả sách toán và khoa học nhân văn. Thông thường, tôi không dành nhiều thời gian để đọc sách giáo khoa. Tuy nhiên, trước mỗi lớp học, tôi thường xem qua nội dung mà giáo viên sẽ nói. Sau giờ học, tôi chỉ vểnh tai lên và lắng nghe thật kỹ mà không ghi chép. Nhiều nhất, tôi sẽ ghi lại nội dung đột nhiên nghe được ngoài sách vào chỗ trống của sách giáo khoa. Sau khi chú ý lắng nghe trong lớp, tôi cảm thấy các khái niệm đã thấm vào tâm trí mình. Nhưng sau khi tôi sang Mỹ, tôi thấy nhiều giáo sư người Mỹ không giảng dạy theo sách giáo khoa, hoặc đơn giản là không sử dụng sách giáo khoa. Họ chỉ liệt kê một vài sách tham khảo và dựa vào tài ăn nói khéo léo của mình để bán kiến thức. Vì vậy, tôi đã "bắt đầu một trang mới" và bắt đầu ghi chép bài giảng trên lớp. Tuy nhiên, tôi thích những giáo sư không dạy theo từng bước mà khuyến khích sinh viên tiếp tục suy nghĩ.
Nếu chúng ta xem xét lại ba đóng góp toán học quan trọng của Giáo sư Lý Thiên Yến, chúng ta sẽ thấy rằng ông đã dấn thân vào nhiều lĩnh vực toán học khác nhau khi còn là nghiên cứu sinh tiến sĩ, điều này thật đáng kinh ngạc. Tôi chỉ hiểu một tác phẩm của ông khi còn ở Trung Quốc, nhưng sau khi đến Hoa Kỳ, tôi đã chịu ảnh hưởng sâu sắc từ ông. Tôi không giới hạn bản thân chỉ thành thạo một nghề mà còn cố gắng hiểu rõ kết quả nghiên cứu của ông. Có lẽ điều này đã để lại ấn tượng tốt với ông, đến nỗi khi trường đại học nơi tôi làm việc giúp tôi nộp đơn xin thẻ xanh sau khi tôi bắt đầu đi làm, tôi đã thấy lá thư giới thiệu mà ông viết cho tôi từ phòng nhân sự, trong đó có nói rằng trong số tất cả sinh viên của ông, "ông là người duy nhất hiểu tất cả các lĩnh vực nghiên cứu của tôi".
Học cách đọc cung cấp nền tảng vững chắc cho những ai hy vọng tham gia nghiên cứu và khám phá trong tương lai để thực hiện bước đầu tiên trong nghiên cứu học thuật.
đánh giá sách
Khi tình yêu sâu sắc, điều đó là tự nhiên. Khi tình yêu sâu đậm, làm sao chúng ta có thể từ bỏ nó?
——Khuyến nghị "Thoát khỏi sự hỗn loạn: Mối quan hệ toán học của tôi với Lý Thiên Yến"
Tác giả: Vương Đào (Viện Lịch sử Khoa học Tự nhiên, Viện Hàn lâm Khoa học Trung Quốc)
Giáo sư Lý Thiên Yến (1945-2020) là người cực kỳ nổi tiếng ở Trung Quốc, ngay cả độc giả bình thường cũng biết tên ông. Bài báo "Giai đoạn thứ ba hàm ý sự hỗn loạn" của ông nổi tiếng đến nỗi F. Dyson của Viện nghiên cứu cao cấp Princeton đã gọi nó là kho báu bất tử trong văn học toán học trong bài phát biểu nổi tiếng "Chim và ếch" của ông. Có thể tạo ra được thành tựu như vậy là đủ để đi vào lịch sử. Ngoài ra, Lý Thiên Yến còn có hai kiệt tác khác - chứng minh một phỏng đoán toán học của "cha đẻ của bom khinh khí" Ulam (S. Ulam), và chứng minh mang tính xây dựng của định lý điểm bất động nổi tiếng của nhà toán học người Hà Lan L. Brouwer, chứng minh này đã khẳng định vị thế học thuật của ông trong hai lĩnh vực hệ động lực hỗn loạn và thuật toán tiếp tục đồng luân.
Là học trò của Lý Thiên Yến, Giáo sư Đinh Cửu thuộc Khoa Toán học của Đại học Nam Mississippi có tình cảm sâu sắc với người thầy của mình và đã nhiều lần giới thiệu những thành tựu toán học, tư tưởng học thuật và ý chí kiên cường của Lý Thiên Yến tới bạn đọc trong nước. Sau khi Lý Thiên Yến chết, Đinh Cửu buồn bã đến mức khó có thể kiểm soát được bản thân. Ông lật giở những cuốn nhật ký mà ông đã trân trọng trong nhiều năm và những ghi chép thư từ giữa hai người trong suốt 35 năm qua, nhớ lại từng chi tiết trong quá khứ và viết một cách say sưa theo lời khuyên của bạn bè và kỳ vọng của độc giả. Ông mất hai tháng rưỡi để hoàn thành tác phẩm đau lòng này - "Thoát khỏi sự hỗn loạn: Mối quan hệ toán học của tôi với Lý Thiên Yến" (sau đây gọi là "Thoát khỏi sự hỗn loạn").
"Out of Chaos" sử dụng khái niệm khoa học vượt thời gian "hỗn loạn" làm tiêu đề, đây cũng là nhãn hiệu quan trọng nhất của Li Tianyan. Lý Thiên Yến phát hiện ra sự hỗn loạn như thế nào? Đằng sau nó có những câu chuyện thú vị gì? Ding Jiu, sinh ra là một nhà toán học, vừa có tầm nhìn của một nhà sử học khoa học vừa có phong cách viết của một nhà văn khoa học. Ông thường bắt đầu từ những manh mối lịch sử và sử dụng những từ ngữ hoa mỹ để giải thích những đóng góp toán học của Lý Thiên Yến và các lý thuyết toán học liên quan theo cách đơn giản, rõ ràng và minh bạch, giúp người đọc "thoát khỏi sự hỗn loạn". Có thể nói cuốn sách này là tiểu sử nửa đời của Lý Thiên Yến. Điều khiến độc giả cảm động nhất có lẽ là ý chí mạnh mẽ của Lý Thiên Yến. Ông đã chiến đấu với bệnh tật trong suốt cuộc đời nhưng không bao giờ từ bỏ hy vọng. Viện sĩ Yan Jianan của Viện Hàn lâm Khoa học Trung Quốc đã viết một bài thơ ca ngợi ông, nói rằng ông "có thể sánh ngang với Shi Tiesheng trong giới văn chương". Giáo sư Trần Quan Vinh của Đại học Thành phố Hồng Kông thậm chí còn sáng tạo ra một thành ngữ vì ông - "Thiên Nham Thiết Sinh".
Tuy nhiên, tiểu sử không phải là chủ đề duy nhất của cuốn sách này. Như tiêu đề phụ gợi ý, mối quan hệ của tác giả với người cố vấn toán học của mình là cốt lõi của cuốn sách này. Cuốn sách này cung cấp cho độc giả cơ hội hiếm có để hiểu được mối quan hệ giữa nhà toán học, giáo viên và học sinh. Sau khi đọc toàn bộ cuốn sách, độc giả sẽ thấy rằng "mối quan hệ" giữa tác giả và Lý Thiên Yến có thể được miêu tả là "mối quan hệ cha con" và "mối quan hệ giữa những người yêu nhau".
Nửa đầu của cuốn sách chủ yếu kể về quá trình tác giả trở thành học trò của Lý Thiên Yến. Hai nhân vật chính là một người ở Đại học Nam Kinh tại Trung Quốc và người kia ở Đại học Tiểu bang Michigan tại Hoa Kỳ. Vào những năm 1980, nếu tác giả muốn trở thành sinh viên Li Tianyan, anh ta thực sự cần một số may mắn, do đó, hai người họ có thể gặp nhau mặc dù đã được định sẵn để làm như vậy. May mắn thay, đường cong tương đồng đã đóng vai trò là cầu nối cho tác giả và Li Tianyan lần đầu tiên gặp nhau ở Quảng Châu, Trung Quốc. Giống như một chàng trai và cô gái đang yêu, trong quá trình trở thành sinh viên Li Tianyan, tác giả thường cảm thấy hạnh phúc, nhưng đôi khi cũng cảm thấy căng thẳng. Sau khi vượt qua một loạt các bài kiểm tra bao gồm TOEFL, bài kiểm tra tiếng Anh và kiểm tra trình độ tiến sĩ, tác giả cuối cùng đã trở thành môn đệ chính thức của Li Tianyan vào tháng 1 năm 1987. Trong khi đọc, độc giả có thể cảm thấy sự chân thành của tác giả. Anh ta chưa bao giờ tránh được những thất bại và thất bại mà anh ta gặp phải. Do đó, cuốn sách này cũng là một cuốn hồi ký có giá trị.
Người dân Trung Quốc tin rằng "từng là một giáo viên, luôn luôn là một người cha." Khi tác giả thừa nhận trong cuốn sách, ngoài cha mẹ, Li Tianyan có ảnh hưởng lớn nhất đến anh ta. Đặc biệt là trong quá trình nghiên cứu và làm việc tại Hoa Kỳ, Li Tianyan giống như một phụ huynh tốt bụng nhưng nghiêm ngặt, dạy ông những bí mật đọc và cách nghiên cứu. Trong quá trình này, tác giả cũng đã nói về những suy nghĩ và kinh nghiệm của ông về giáo dục và văn hóa ở Trung Quốc và Hoa Kỳ trong những năm qua. Những nội dung này tạo thành nửa sau của cuốn sách. Li Tianyan rất quan tâm đến những "đứa trẻ" này đến nỗi anh ấy lo lắng về sự chậm chạp thường xuyên của chúng, nhưng cũng hài lòng với sự phát triển liên tục của chúng. Ông cũng dạy họ từng bước làm thế nào để thực hiện các bài phát biểu, đặc biệt là các báo cáo phỏng vấn, để họ có thể tìm được một công việc thỏa đáng sau khi tốt nghiệp và trở thành giáo viên phổ biến. Điều để lại ấn tượng sâu sắc về tác giả là tình yêu của Li Tianyan dành cho quê hương. Anh ta có tình cảm sâu sắc với quê hương và dạy "những đứa con" của mình đối xử với người nước ngoài với phẩm giá và không phải là người phục vụ.
Sau khi đọc cuốn sách này, tôi tin rằng độc giả sẽ bị thu hút bởi sự quyến rũ cá nhân của Li Tianyan, và cũng sẽ bị xúc động bởi tác giả của cảm giác thực sự về việc bỏ lỡ người cố vấn của mình. Trong quá trình đọc, nếu độc giả có thể đề cập đến tác giả của hai cuốn sách khác, thì sự nhầm lẫn của người khôn ngoan: một cuộc nói chuyện lan man về sự hỗn loạn và fractals và kinh nghiệm cá nhân về giáo dục Mỹ: ba mươi năm kinh nghiệm và suy nghĩ, họ không chỉ có thể hiểu sâu hơn về sự hiểu biết của họ.
Li Tianyan có thể được an ủi bởi thực tế là sinh viên của mình, Ding Jiu đã viết một tác phẩm tuyệt vời như vậy về văn hóa toán học, cho phép một số lượng lớn độc giả Trung Quốc tìm hiểu về cuộc sống tuyệt vời của Li Tianyan và làm cho tên tuổi của anh ta bắt nguồn từ trái tim của mọi người. Chúng tôi hy vọng rằng một ngày nào đó trong tương lai, tác giả sẽ có thể viết tiểu sử hoàn chỉnh hơn về Li Tianyan, đây sẽ là một món quà lớn hơn cho độc giả.
